martes, 20 de abril de 2010

Las proporciones musicales en la catedral de Chartres

Las mediciones realizadas en el transcurso de la investigación señalan que la geometría que subyace a la arquitectura de la catedral exhibe concordancias basadas en las consonancias perfectas y el tono. Este estudio se limita a la fachada occidental y a la planta de la catedral. Las partes analizadas fueron construidas durante el período de auge del Platonismo en la Escuela de Chartres. Por lo tanto, la incidencia de proporciones musicales en estas partes del edificio podría indicar que las ideas platónicas del obispo Fulberto y de sus seguidores conformaron el fundamento filosófico y teológico de la geometría de la catedral.





Las mediciones realizadas durante la investigación muestran que las diagonales de los rectángulos principales de la fachada occidental están relacionadas entre sí según los intervalos de cuarta, de quinta, de octava y de tono. Estas relaciones se verifican, por ejemplo, entre las diagonales de los rectángulos que encierran a los tres ventanales románicos entre el diámetro del rosetón y el lado del cuadrado que lo encierra y entre otras importantes diagonales de la fachada Sin embargo, es en el Portal Real donde se observa la más armoniosa de las trazas En efecto, este diseño está basado en rectángulos áureos cuyas diagonales también están proporcionadas entre sí musicalmente. Las relaciones musicales también se observan entre las diagonales de los rectángulos fundamentales que definen la planta de la iglesia. Más aún, la nave principal podría haber sido diagramada como un monocordio. Ciertamente, si se compara la longitud total de la nave con una cuerda, entonces los puntos más importantes del recorrido –inicio y final del transepto, centro del crucero, ubicación del coro, etc.- se corresponden con las divisiones que dan lugar a las notas de la escala diatónica.
En síntesis, este estudio del trazado geométrico de la planta y de la fachada occidental de la catedral permitiría suponer que la cosmología musical del Timeo habría sido la fuente de inspiración de la arquitectura de la iglesia.

Geometría de los acordes

En tiempos en que el mapa genético del ser humano va dejando de ser un misterio, hay áreas del saber que permanecen en el imaginario colectivo como algo, en última instancia, mágico. La música es una de ellas. Sin embargo, la teoría sobre la armonía ya estaba muy desarrollada en Grecia clásica, y aún se la consideraba en pie de igualdad con las demás ciencias en el siglo XVII, cuando Galileo buscaba la clave matemática para decifrar la naturaleza. En esta línea, hoy se sigue buceando en la estructura matemática de las relaciones entre las notas musicales en busca de nuevas revelaciones. Dmitri Tymoczko, formado en filosofía en Harvard, compositor y teórico musical que enseña en la Universidad de Princeton, en Estados Unidos, parece haber hallado al menos uno de esos supuestos tesoros escondidos. Si bien en general los compositores suelen hablar de unir acordes y melodías como si los sonidos fueran objetos físicos, Tymoczko creó un modelo geométrico que postula como una nueva herramienta visual para entender la estructura de la composición musical.Los resultados de su trabajo, sintetizados en el escrito "La geometría de los acordes musicales", constituyen el primer artículo sobre teoría musical que Science —probablemente la revista de divulgación científica más importante del mundo— ha publicado en sus 127 años de historia. Axiomática musicalTymoczko parte de que la música occidental se ha construido sobre dos pilares: armonía y contrapunto (del latín punctus contra punctum, nota contra nota). La primera está relacionada con los acordes (o notas simultáneas) y las secuencias de éstos. El segundo es la técnica de conectar notas individuales con una serie de acordes, para formar melodías simultáneas. Músicos y matemáticos han estudiado este tema por casi 300 años. El círculo de quintas (Heinichen, 1728) representa contrapuntos que suenan bien a lo largo de las doce escalas mayores en un espacio geométrico imaginario, en forma de círculo. Y el Tonnetz (Euler, 1739), amplió ese modelo.En esa línea, este trabajo plantea una forma diferente de graficar la música. "La notación tradicional —el pentagrama— es muy buena para representar la estructura de una melodía, porque muestra qué nota está cerca de otra —dice Tymoczko, que compone música clásica, jazz y rock—. Pero no es muy útil para representar una estructura armónica, porque ofrece muchas formas diferentes de mostrar un acorde, por ejemplo, de do mayor. Lo que logré es representar ambas estructuras al mismo tiempo".Para representar la forma en que interactúan acordes y notas musicales Tymoczko recurrió a la geometría no euclideana —se podría definir, a grandes rasgos, como la que se aplica a superficies y espacios curvos— para desembocar en lo que bautizó como orbitfold, un gráfico en el cual los acordes, que aparecen representados por puntos, y los contrapuntos, representados por líneas, se relacionan entre sí. Con ese fin, el autor desarrolló un algoritmo para hacer una traslación geométrica de las notas que forman los acordes, de manera que aparecen representadas como un punto en un espacio de varias dimensiones. Así, es posible visualizar una determinada secuencia de acordes conectados por líneas, y esas uniones permiten ver cómo se cambian las notas para pasar de un acorde a otro.El orbitfold puede tener dos, tres y hasta cuatro dimensiones, lo que dependerá de la cantidad de notas que tengan los acordes allí representados. En un gráfico de tres dimensiones, que es una suerte de triángulo en forma de prisma, las armonías más populares, como los acordes mayores, se ubican cerca del centro del triángulo, próximos a otros acordes comúnmente utilizados. Mientras que los grupos más disonantes están más cerca de los bordes. "Los músicos en general se manejan en una determinada región, sin saltar a otra demasiado rápido", dice Tymoczko. Según el investigador, "teníamos herramientas disponibles para analizar las armonías tradicionales, pero la música se ha vuelto más compleja a medida que se usan acordes no tradicionales. Eso me llevó a construir un modelo que permite visualizar cualquier tipo de acorde y cómo se relaciona con otros". El autor creó, como demostración, un pequeño video en el que muestra el modelo en acción mediante el preludio en mi menor de Frederick Chopin, en este caso, en cuatro dimensiones. "Esta pieza es misteriosa, dado que usa armonías tradicionales pero conectadas con sucesiones de acordes poco comunes, difíciles de describir al escucharlas. Pero si se las pone sobre un espacio geométrico se puede ver que Chopin se mueve entre espacios cortos y sobre todo restrigiéndose a una sola región", asegura.Por el análisis de este modelo —que implicó también el desarrollo de un software específico— ya pasaron desde la música del húngaro György Ligeti (autor de la música de 2001: Odisea del Espacio), que, según Tymoczko, "tiene muchos más puntos de contacto con la música occidental tradicional de lo que se creía", hasta los temas de bandas de rock como Deep Purple, entre otros. También obras de Claude Debussy, uno de los compositores favoritos del autor. "Me encontré con que su música es mucho más sistemática de lo que creía, tenía un manejo muy sofisticado de las escalas y sus relaciones. Chopin, Debussy y hasta Wagner, suelen ser catalogados de románticos, de tener un estilo más aferrado al sentimiento que a la estructura compositiva, pero es posible que simplemente no estuviésemos entendiendo esas estructuras".¿Por qué suena bien?El modelo geométrico de Tymoczko es aplicable más que nada a lo que se conoce como música occidental, es decir, a la originada en Europa y sus colonias y caracterizada por acordes cambiantes y melodías simultáneas. "Se puede usar el orbitfold para representar cualquier tipo de música, pero los resultados pueden ser poco atractivos. Buena parte de la música no occidental usa una sola melodía por vez y en esos casos el gráfico no ofrece algo revelador, uno ve a la música moverse a través de un círculo. Lo mismo pasa con las armonías que no cambian a lo largo de una pieza. Eso lo hace menos interesante desde el punto de vista geométrico, ¡pero eso no implica que la música sea menos interesante!", enfatiza."Hasta hoy, ninguna teoría había logrado articular principios generales que logren explicar cuándo y por qué determinadas combinaciones de acordes y contrapuntos son posibles en forma eficiente", asegura el compositor, que tiene 38 años y nació en Northampton, Massachusetts.¿Qué es lo que hace que determinadas combinaciones de acordes resulten placenteras o desagradables? ¿Qué determina que dos acordes puedan conectarse con otra serie de notas que suenan al mismo tiempo? Son preguntas que no sólo los músicos, sino también teóricos de diversas disciplinas, han debatido e intentado responder durante siglos.En este sentido, el trabajo se mueve en una delgada línea entre lo descriptivo y lo normativo, aunque el autor asegura que no pretende decir qué suena bien y qué suena mal. "Es un modelo descriptivo, aunque de todas formas hay algunos principios generales que son compartidos por un amplio espectro de estilos. El modelo que desarrollé puede mostrar cómo estos principios pueden ser satisfechos simultáneamente. La música atonal, por ejemplo, abandona esos principios, entonces mi trabajo no sirve para analizarla", dice. "Permite visualizar la forma de escribir música que un público occidental encontraría, por lo menos, agradable. Eso no significa que pueda mostrarle a la gente cómo hacer una obra maestra o algo que le gustaría a todo el mundo, porque no existen esa clase de atajos en la música y la geometría no va a ayudar a ser buen músico a quien no tiene talento para serlo."Teoría y computadoraTymoczko dice que el motor que lo llevó a buscar un enfoque diferente sobre la teoría musical fue el modo en que se volvió más compleja la música en los dos últimos siglos. Pero, ¿realmente la música se ha vuelto más compleja? ¿Acaso no se repiten fórmulas desde hace siglos, y sin embargo el público las sigue disfrutando como si fuesen novedosas?"Hay períodos en que la cultura musical se renueva a sí misma volviendo a los principios básicos. Hay una oscilación entre la necesidad de simplicidad y complejidad, y esta última se ve alimentada hoy en día por la cantidad de información disponible, lo que amplía el rango de técnicas e influencias. Aunque antes también hubo música increíblemente compleja, como el Ars Subtilior en el siglo XIV. Es cierto que las fórmulas se repiten y todo funciona, pero es que la complejidad no siempre es una virtud musical".Además de los recursos de matemática que le exigió el modelo teórico, Tymoczko —que también es programador— desarrolló el software que permite trasladar los cálculos al entorno geométrico. "Estoy tratando de pasarlo a Java —uno de los lenguajes de programación más populares— para poder hacerlo público, porque como está hecho hasta ahora sólo lo entiendo yo", dice.Y sostiene que le interesan especialmente las posibilidades que abre la composición asistida por computadora. "Permite explorar ideas complicadas mucho más rápido. Me interesa especialmente el uso de la computadora para crear ambientes musicales interactivos donde poder improvisar. En general, uso a las computadoras para entrar en ciertos territorios de composición antes de empezar a escribir algo, lo que me permite saber en cuál de los ''mundos'' del sonido voy a estar trabajando."Compositor de piezas de variados estilos, desde música clásica para concierto hasta electrónica, admirador de Bach, Brahms, Debussy, Stravinsky y Messaien, entre otros, Tymoczko elige al ícono beatle Sgt. Pepper''s Lonely Hearts Club Band como el mejor disco de los últimos 50 años. Su investigación —afirma— puede tomar, a partir de ahora, más de una dirección. En el artículo que lo hizo famoso, cita la posibilidad de seguir estudiando en detalle cómo diferentes músicos han explorado la geometría de los acordes. También, a partir de que este modelo es adaptable a otros estilos musicales, plantea que se lo puede extender al estudio de otros tipos de músicas (africana, asiática), así como convertirlo en punto de partida para sugerir nuevas técnicas de composición en música contemporánea."En este momento —concluye Tymoczko— estoy terminando un libro en el que intento unir éste con otros proyectos de teoría musical que desarrollé en los últimos diez años. Hasta hoy, la historia de la música occidental se ha contado sin tener en cuenta la evolución de la armonía y el contrapunto. Quiero usar estas nuevas ideas para contar la historia desde ahí."

Artículo de Bruno Massare para la revista Ñ, grupo Clarín, 12 de mayo de 2007

martes, 13 de abril de 2010

GEOMETRÍA-MÚSICA

Estudios como los de Willhelm Weber han demostrado que al someter a una plancha de metal a las ondas con sal encima, esta reproduce un dibujo geométrico diferente dependiendo de la altura de la nota como muestra este video:



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